一、基本定义

如果 \(a^b = N\) （其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)），那么称 \(b\) 是以 \(a\) 为底 \(N\) 的对数，记作 \(b = \log_a N\)。这里，\(a\) 被称为底数，\(N\) 被称为真数。

二、常用性质

1. 换底公式

\[

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

\]

这个公式可以用来改变对数的底数。

2. 对数的加法法则

\[

\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N

\]

3. 对数的减法法则

\[

\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N

\]

4. 幂的对数法则

\[

\log_a (M^n) = n \cdot \log_a M

\]

5. 特殊值

\[

\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1

\]

6. 倒数关系

\[

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

\]

7. 零的对数

对于任何正数 \(a\)（\(a \neq 1\)），有 \(\log_a 0\) 无意义。

8. 负数的对数

对于任何正数 \(a\)（\(a \neq 1\)），有 \(\log_a (-x)\) 无意义（\(x > 0\)）。

三、自然对数与常用对数

- 自然对数

自然对数是以自然常数 \(e\) 为底的对数，记作 \(\ln x = \log_e x\)。

- 常用对数

常用对数是以 10 为底的对数，记作 \(\lg x = \log_{10} x\)。

四、复合运算

1. 对数的链式法则

若 \(f(x) = \log_a g(x)\)，则其导数为：

\[

f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x) \ln a}

\]

2. 对数函数的增长速度

对数函数的增长速度比幂函数慢得多，因此在处理复杂数据时具有独特的优势。

通过对以上公式的灵活运用，我们可以更高效地解决涉及对数函数的实际问题。希望这些内容能够为大家的学习提供一定的帮助！