【等比求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和公式是解决相关问题的重要工具。本文将对等比求和公式进行总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、等比数列的基本概念
- 定义：一个数列如果从第二项开始，每一项与前一项的比值都是同一个常数，这样的数列叫做等比数列。
- 通项公式：
$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。
- 公比 $ r $：可以是正数、负数或分数，但不能为 0。
二、等比数列的求和公式
当我们要计算等比数列前 $ n $ 项的和时，可以使用以下公式：
1. 当 $ r \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
或
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
2. 当 $ r = 1 $ 时：
此时所有项都相等，即 $ a_1, a_1, a_1, \dots $，因此：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、等比求和公式的应用场景
| 应用场景 | 公式 | ||
| 求有限项的和（$ r \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 求无限项的和（$ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
| 公比为 1 的情况 | $ S_n = n \cdot a_1 $ |
四、举例说明
| 首项 $ a_1 $ | 公比 $ r $ | 项数 $ n $ | 和 $ S_n $ |
| 2 | 3 | 4 | 80 |
| 5 | 1/2 | 5 | 9.6875 |
| 10 | 1 | 6 | 60 |
五、注意事项
- 公比 $ r $ 必须不等于 1，否则无法使用上述公式；
- 当 $
- 若题目中未明确给出公比或项数，需根据已知条件推导出所需参数。
总结
等比求和公式是处理等比数列求和问题的核心工具。掌握其基本形式和适用条件，能够帮助我们在实际问题中快速准确地进行计算。无论是有限项还是无限项的求和，合理选择公式并注意公比的取值范围，是正确应用的关键。
表格总结：
| 项目 | 内容 | ||
| 等比数列定义 | 每一项与前一项的比值为常数 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 求和公式（$ r \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | ||
| 求和公式（$ r = 1 $） | $ S_n = n \cdot a_1 $ | ||
| 无限项和（$ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
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