【高一数学所有关于三角函数的公式】在高一数学中，三角函数是一个重要的学习内容，它不仅涉及角度与边长之间的关系，还广泛应用于几何、物理和工程等领域。为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面对高一数学中所有常见的三角函数公式进行系统的总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本概念
| 名称 | 定义 |
| 正弦函数（sin） | 在直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦函数（cos） | 在直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切函数（tan） | 在直角三角形中，对边与邻边的比值 |
| 余切函数（cot） | 正切函数的倒数，即邻边与对边的比值 |
| 正割函数（sec） | 余弦函数的倒数，即斜边与邻边的比值 |
| 余割函数（csc） | 正弦函数的倒数，即斜边与对边的比值 |
二、同角三角函数的基本关系
| 公式 | 说明 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 平方关系 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 平方关系 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 平方关系 |
| $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 商数关系 |
| $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ | 商数关系 |
| $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 倒数关系 |
| $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 倒数关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 偶函数性质 |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 对称性 |
| $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 对称性 |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 对称性 |
| $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 对称性 |
| $ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta $ | 对称性 |
| $ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta $ | 对称性 |
四、两角和与差的三角函数公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $ | 和差公式 |
| $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $ | 和差公式 |
| $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} $ | 和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ | 二倍角公式 |
| $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ | 二倍角公式 |
| $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 二倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 半角公式 |
| $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 半角公式 |
| $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 半角公式 |
七、积化和差与和差化积公式
积化和差：
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ | 积化和差 |
| $ \cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] $ | 积化和差 |
| $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $ | 积化和差 |
| $ \sin\alpha \sin\beta = -\frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)] $ | 积化和差 |
和差化积：
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 和差化积 |
八、正弦定理与余弦定理
| 公式 | 说明 |
| $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $ | 正弦定理（适用于任意三角形） |
| $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A $ | 余弦定理（适用于任意三角形） |
| $ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $ | 余弦定理变形 |
通过以上整理，我们可以清晰地看到高一数学中三角函数所涉及的主要公式及其应用场景。建议同学们在学习过程中多做练习题，结合图形理解公式的意义，从而加深记忆和应用能力。
