【求二次函数的顶点坐标的公式】在数学学习中，二次函数是一个非常重要的内容，它广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。二次函数的一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $，而其图像是一个抛物线。抛物线有一个关键点——顶点，它是抛物线的最高点或最低点，决定了函数的最大值或最小值。
为了快速找到二次函数的顶点坐标，我们可以使用一个简洁且实用的公式来计算顶点的横坐标和纵坐标。
一、顶点坐标的公式
对于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其顶点坐标 $ (h, k) $ 可以通过以下公式求得：
- 横坐标（h）：
$$
h = -\frac{b}{2a}
$$
- 纵坐标（k）：
$$
k = f(h) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
也可以直接使用简化后的公式计算纵坐标：
$$
k = c - \frac{b^2}{4a}
$$
二、总结与对比
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 横坐标 | $ h = -\frac{b}{2a} $ | 计算顶点的横坐标 |
| 纵坐标 | $ k = c - \frac{b^2}{4a} $ | 直接计算顶点的纵坐标 |
| 纵坐标（代入法） | $ k = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c $ | 通过将横坐标代入原函数计算纵坐标 |
三、应用示例
假设有一个二次函数：
$$ y = 2x^2 - 8x + 5 $$
根据公式计算顶点坐标：
- 横坐标：
$$
h = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2
$$
- 纵坐标：
$$
k = 5 - \frac{(-8)^2}{4 \times 2} = 5 - \frac{64}{8} = 5 - 8 = -3
$$
因此，该二次函数的顶点坐标为 $ (2, -3) $。
四、小结
掌握二次函数顶点坐标的计算方法，有助于我们更直观地理解函数图像的变化趋势，并在实际问题中快速找到最大值或最小值。无论是通过代入法还是直接公式法，都可以高效地得到答案。建议在解题过程中结合图形辅助理解，提高解题准确率和效率。
