在数学的世界里，黄金分割点以其独特的比例美而闻名。它不仅出现在艺术和建筑中，也广泛渗透到数学问题中。今天，我们通过一道有趣的数学题来探讨黄金分割点的应用。

假设有一条长度为10厘米的线段AB，我们需要将其分成两部分AC和CB，使得AC与CB的比例等于整个线段AB与较长部分AC的比例。换句话说，满足以下关系：

\[

\frac{AC}{CB} = \frac{AB}{AC}

\]

根据黄金分割的定义，这个比例的值是黄金数φ（Phi），其近似值为1.618。接下来，我们来解决这个问题。

首先，设AC的长度为x，则CB的长度为10 - x。将这些代入上述比例关系中，可以得到：

\[

\frac{x}{10-x} = \frac{10}{x}

\]

交叉相乘后得到：

\[

x^2 = 10(10-x)

\]

展开并整理方程：

\[

x^2 + 10x - 100 = 0

\]

这是一个一元二次方程，我们可以使用求根公式来解它。求根公式为：

\[

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\]

在这个方程中，a=1, b=10, c=-100。代入公式计算：

\[

x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}

\]

\[

x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 400}}{2}

\]

\[

x = \frac{-10 \pm \sqrt{500}}{2}

\]

\[

x = \frac{-10 \pm 10\sqrt{5}}{2}

\]

\[

x = -5 \pm 5\sqrt{5}

\]

由于长度不能为负，我们取正值：

\[

x = -5 + 5\sqrt{5}

\]

计算近似值：

\[

x \approx -5 + 5 \times 2.236 \approx -5 + 11.18 \approx 6.18

\]

因此，AC的长度约为6.18厘米，CB的长度则为10 - 6.18 ≈ 3.82厘米。这两个长度的比例非常接近黄金分割点的值φ。

这道题目展示了黄金分割点在实际数学问题中的应用，同时也体现了数学之美。通过解决这样的问题，我们不仅锻炼了逻辑思维能力，还感受到了数学在生活中的广泛应用。希望这道题目能激发你对数学的兴趣！