【复合函数求导公式】在微积分中，复合函数的求导是解决复杂函数导数问题的重要方法。复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的函数形式，其导数的计算需要借助“链式法则”。以下是对复合函数求导公式的总结，并以表格形式清晰展示。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入，例如：若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。对这种函数求导时，需要用到链式法则（Chain Rule）。
二、链式法则的数学表达
链式法则的数学表达为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
三、常见复合函数的求导公式总结
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数的导数，应用链式法则 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ y' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x)} $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = a^{f(x)} $ | $ y' = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x) $ | 底数为常数的指数函数导数 |
| $ y = \log_a(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x) \cdot \ln(a)} $ | 对数函数的导数（底数不为e） |
四、使用示例
例如，求函数 $ y = \sin(3x + 2) $ 的导数：
- 设 $ u = 3x + 2 $，则 $ y = \sin(u) $
- $ \frac{dy}{du} = \cos(u) $，$ \frac{du}{dx} = 3 $
- 所以 $ \frac{dy}{dx} = \cos(3x + 2) \cdot 3 = 3\cos(3x + 2) $
五、小结
复合函数的求导本质上是将复杂的函数分解为多个简单函数的组合，再通过链式法则逐层求导。掌握常见的复合函数导数公式，有助于快速解决实际问题。理解并熟练运用这些公式，是学习微积分的关键一步。
如需进一步了解多层复合函数的求导方法，可继续研究更高阶的链式法则应用。
