【常见随机变量的期望和方差表】在概率论与数理统计中，随机变量的期望和方差是描述其分布特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是一些常见的离散型和连续型随机变量的期望与方差总结。
一、离散型随机变量
| 随机变量X | 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望E(X) | 方差D(X) |
| X ~ B(n, p) | 二项分布 | P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} | np | np(1-p) |
| X ~ P(λ) | 泊松分布 | P(X=k) = e^{-λ}λ^k / k! | λ | λ |
| X ~ Ge(p) | 几何分布 | P(X=k) = (1-p)^{k-1}p | 1/p | (1-p)/p² |
| X ~ Binom(n,p) | 超几何分布 | P(X=k) = C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n) | nK/N | nK(N-K)(N-n)/(N²(N-1)) |
| X ~ Bernoulli(p) | 伯努利分布 | P(X=1)=p, P(X=0)=1-p | p | p(1-p) |
二、连续型随机变量
| 随机变量X | 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望E(X) | 方差D(X) |
| X ~ U(a,b) | 均匀分布 | f(x) = 1/(b-a), a ≤ x ≤ b | (a + b)/2 | (b - a)²/12 |
| X ~ Exp(λ) | 指数分布 | f(x) = λe^{-λx}, x ≥ 0 | 1/λ | 1/λ² |
| X ~ N(μ,σ²) | 正态分布 | f(x) = 1/(σ√(2π)) e^{-(x-μ)²/(2σ²)} | μ | σ² |
| X ~ Gamma(α,β) | Γ分布 | f(x) = x^{α-1}e^{-x/β}/(β^αΓ(α)) | αβ | αβ² |
| X ~ Beta(α,β) | β分布 | f(x) = x^{α-1}(1-x)^{β-1}/B(α,β) | α/(α+β) | αβ/[(α+β)^2(α+β+1)] |
三、小结
上述表格涵盖了常见的离散型与连续型随机变量的基本信息，包括它们的概率分布形式、期望与方差公式。掌握这些内容有助于在实际问题中快速判断随机变量的行为特征，并为统计推断、概率计算等提供理论基础。
不同分布之间具有不同的应用场景，例如二项分布在重复独立试验中使用广泛，正态分布则是许多自然现象和统计方法的基础假设之一。了解这些分布的期望和方差，有助于更好地进行数据分析与建模。
