在数学分析中，我们常常会遇到这样一个问题：“哪个函数的导数是arctanx？”这个问题看似简单，但实际上涉及到一些基础但重要的微积分知识。

首先，我们需要明确arctanx（或称为反切函数）的定义。arctanx是正切函数y=tan(x)的反函数，其定义域为(-π/2, π/2)，值域为(-∞, +∞)。它的几何意义是在单位圆上表示一个特定的角度。

接下来，我们要找到一个函数f(x)，使得f'(x) = arctanx。通过基本的积分公式，我们可以得出：

\[ f(x) = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \]

这里C是一个常数。这个结果可以通过分部积分法得到，其中u=arctanx，dv=dx。

进一步地，如果我们考虑更广泛的背景，可以发现arctanx在信号处理和控制理论中有广泛应用。例如，在滤波器设计中，arctanx常被用来表示相位响应。

此外，arctanx还与复数平面中的角度计算密切相关。在复数z=x+iy的情况下，arg(z)=arctan(y/x)，这为我们提供了从实数到复数空间的一个桥梁。

总结来说，虽然表面上看只是求一个函数的导数，但实际上它连接了微积分、代数以及工程应用等多个领域。这也提醒我们在学习数学时，不仅要掌握具体的计算技巧，还要理解这些概念背后的深层含义。

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