【对数函数及其性质习题】在学习对数函数的过程中，掌握其基本性质和相关习题的解法是非常重要的。通过对数函数的定义、图像、单调性、定义域与值域等知识点的梳理，可以更好地理解其在数学中的应用。以下是对常见对数函数问题的总结，并附上答案表格供参考。
一、对数函数的基本概念
1. 定义：
对数函数的一般形式为 $ y = \log_a x $，其中 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $，$ x > 0 $。
- 当 $ a > 1 $ 时，函数在定义域内是增函数；
- 当 $ 0 < a < 1 $ 时，函数在定义域内是减函数。
2. 定义域：
$ x > 0 $，即所有正实数。
3. 值域：
所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $。
4. 图像特征：
- 图像恒过点 $ (1, 0) $；
- 当 $ a > 1 $ 时，图像向右上方倾斜；
- 当 $ 0 < a < 1 $ 时，图像向右下方倾斜。
5. 反函数关系：
对数函数 $ y = \log_a x $ 是指数函数 $ y = a^x $ 的反函数。
二、典型习题及解答
| 题号 | 题目 | 答案 |
| 1 | 求 $ \log_2 8 $ 的值 | 3 |
| 2 | 求 $ \log_3 9 $ 的值 | 2 |
| 3 | 求 $ \log_{10} 100 $ 的值 | 2 |
| 4 | 若 $ \log_a 16 = 2 $，求 $ a $ 的值 | 4 |
| 5 | 若 $ \log_2 x = 3 $，求 $ x $ 的值 | 8 |
| 6 | 求函数 $ y = \log_2 (x - 1) $ 的定义域 | $ x > 1 $ |
| 7 | 求函数 $ y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) $ 的定义域 | $ x > -3 $ |
| 8 | 判断函数 $ y = \log_3 x $ 的单调性 | 增函数 |
| 9 | 判断函数 $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $ 的单调性 | 减函数 |
| 10 | 若 $ \log_5 (x + 2) = 1 $，求 $ x $ 的值 | 3 |
三、总结
通过对数函数的基本性质和常见题型的练习，我们可以更深入地理解对数函数的图像变化、定义域和值域的确定方法，以及如何利用对数的运算规则进行简化和求解。掌握这些内容不仅有助于考试中应对相关题目，也能为后续学习指数函数、方程和不等式打下坚实的基础。
建议在复习时结合图像分析，通过实际例子加深对对数函数的理解，提高解题的准确性和效率。
