【arctanx的原函数怎么算】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个常见的问题。对于函数 $ \arctan x $，其原函数可以通过分部积分法来求解。以下是对该过程的总结与详细说明。

一、计算方法概述

步骤1：选择合适的分部积分方式

由于 $ \arctan x $ 是一个反三角函数，我们通常将其作为 $ u $，而将 $ dv = dx $，从而利用分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

步骤2：设定变量

令：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

步骤3：应用分部积分公式

代入公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

步骤4：计算剩余积分

对 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $ 进行换元法：

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $，因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

步骤5：合并结果

最终得到：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、总结表格

三、注意事项

- 在计算过程中要注意对数函数的定义域，$ \ln(1 + x^2) $ 对所有实数 $ x $ 都有定义。

- 常数 $ C $ 表示积分常数，是不定积分的一部分。

- 若需要计算定积分，只需代入上下限即可。

通过以上步骤，我们可以清晰地理解如何求出 $ \arctan x $ 的原函数，并且掌握了基本的分部积分与换元法技巧。