【复合函数求导公式是什么】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。当一个函数由两个或多个函数复合而成时，我们需要使用“链式法则”来求导。下面将对复合函数的求导公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其应用方式。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数。例如，若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，那么 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。这种情况下，求 $ y $ 关于 $ x $ 的导数，需要用到链式法则。
二、复合函数求导公式（链式法则）
设函数 $ y = f(u) $，其中 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
外层函数的导数乘以内层函数的导数
三、常见复合函数类型及求导公式
| 复合函数形式 | 求导公式 | 说明 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 链式法则基本形式 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数的复合形式 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数的复合形式 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) $ | 对数函数的复合形式 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 三角函数的复合形式 |
| $ y = \tan(f(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正切函数的复合形式 |
四、注意事项
1. 顺序不可颠倒：外层函数的导数先计算，再乘以内层函数的导数。
2. 逐层应用：如果复合层次较多，如 $ y = f(g(h(x))) $，则需逐层应用链式法则。
3. 注意中间变量：在实际计算中，应明确每一步的中间变量，避免混淆。
五、小结
复合函数的求导是微积分中的基础内容之一，掌握链式法则对于理解复杂函数的变化率至关重要。通过上述表格可以快速查阅不同类型的复合函数对应的求导方法，帮助提高解题效率和准确性。
原创声明：本文内容为作者根据数学知识整理编写，未直接引用任何来源，旨在提供清晰易懂的复合函数求导公式讲解。
