【三角函数公式30个】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。掌握常见的三角函数公式不仅有助于解决几何问题，还能在物理、工程、计算机科学等领域发挥重要作用。以下是常用的30个三角函数公式，涵盖基本定义、恒等式、加法公式、倍角公式、半角公式以及反三角函数等内容。
一、基本定义
| 公式 | 表达式 |
| 1. 正弦函数 | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ |
| 2. 余弦函数 | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ |
| 3. 正切函数 | $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ |
| 4. 余切函数 | $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ |
| 5. 正割函数 | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ |
| 6. 余割函数 | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ |
二、基本恒等式
| 公式 | 表达式 |
| 7. 平方恒等式 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 8. 正切与正割关系 | $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ |
| 9. 余切与余割关系 | $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ |
三、诱导公式（角度变换）
| 公式 | 表达式 |
| 10. $\sin(-\theta)$ | $-\sin \theta$ |
| 11. $\cos(-\theta)$ | $\cos \theta$ |
| 12. $\tan(-\theta)$ | $-\tan \theta$ |
| 13. $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin \theta$ |
| 14. $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| 15. $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin \theta$ |
| 16. $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos \theta$ |
四、和角与差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 17. $\sin(A + B)$ | $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ |
| 18. $\sin(A - B)$ | $\sin A \cos B - \cos A \sin B$ |
| 19. $\cos(A + B)$ | $\cos A \cos B - \sin A \sin B$ |
| 20. $\cos(A - B)$ | $\cos A \cos B + \sin A \sin B$ |
| 21. $\tan(A + B)$ | $\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ |
| 22. $\tan(A - B)$ | $\frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 23. $\sin 2\theta$ | $2 \sin \theta \cos \theta$ |
| 24. $\cos 2\theta$ | $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ |
| 25. $\tan 2\theta$ | $\frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 26. $\sin \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ |
| 27. $\cos \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ |
| 28. $\tan \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ |
七、反三角函数公式
| 公式 | 表达式 |
| 29. $\arcsin x + \arccos x$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| 30. $\arctan x + \text{arccot} x$ | $\frac{\pi}{2}$ |
通过以上30个三角函数公式，可以系统地理解和应用三角函数的相关知识。这些公式不仅适用于基础的数学学习，也是解决实际问题的重要工具。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解与运用能力。
