首先，让我们明确几个基本概念。圆柱的侧面展开图是指将圆柱的侧面沿着一条高线剪开并铺平后得到的图形。通常情况下，这个展开图是一个矩形，其中一边等于圆柱的高，另一边等于圆柱底面周长。
然而，在本题中，题目特别指出这个展开图是一个正方形。这就意味着圆柱的高（h）与底面周长（C）相等。我们知道圆的周长公式为 \( C = \pi d \)，其中 \( d \) 是圆的直径。因此，可以得出：
\[ h = \pi d \]
接下来，我们需要求的是底面直径 \( d \) 与高 \( h \) 的比值。根据上述等式，我们可以将 \( h \) 表达为 \( d \) 的函数：
\[ \frac{d}{h} = \frac{d}{\pi d} = \frac{1}{\pi} \]
因此，圆柱的底面直径与高的比值是 \( \frac{1}{\pi} \)。
这个问题展示了数学中几何与代数结合的魅力，通过简单的条件推导出复杂的比例关系。希望这个解答能够帮助你更好地理解这类问题的本质。
