【复合函数求导】在微积分中，复合函数的求导是求导法则中的一个重要部分。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其形式通常为 $ y = f(g(x)) $。为了正确地对这类函数进行求导，我们需要使用“链式法则”（Chain Rule）。本文将对复合函数求导的基本概念、规则及常见类型进行总结，并以表格形式展示典型例子。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入。例如，若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。
对复合函数求导的关键在于识别内部函数和外部函数，并应用链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：外层函数的导数乘以内层函数的导数。
二、复合函数求导的步骤
1. 识别内外函数：明确哪个是外层函数，哪个是内层函数。
2. 分别求导：对外层函数求导，再对内层函数求导。
3. 相乘得到结果：将两个导数相乘，得到最终的导数表达式。
三、常见复合函数类型与示例
| 函数形式 | 外层函数 | 内层函数 | 导数公式 | 示例 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ f(u) $ | $ g(x) $ | $ f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | $ y = \sin(2x) $ |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ u^n $ | $ g(x) $ | $ n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | $ y = (x^2 + 1)^3 $ |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ e^u $ | $ g(x) $ | $ e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = e^{3x} $ |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \ln(u) $ | $ g(x) $ | $ \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = \ln(x^2 - 1) $ |
| $ y = \sqrt{g(x)} $ | $ \sqrt{u} $ | $ g(x) $ | $ \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x) $ | $ y = \sqrt{x^3 + 2} $ |
四、注意事项
- 链式法则适用于任何嵌套的函数结构，可以多次应用。
- 当函数结构复杂时，建议逐步拆分，避免混淆。
- 注意导数的顺序，外层函数导数乘以内层函数导数，不可颠倒。
五、总结
复合函数的求导是微积分中的基础内容之一，掌握链式法则对于处理复杂的函数形式至关重要。通过识别内外函数并逐步求导，可以有效地计算出复合函数的导数。上述表格提供了常见的复合函数类型及其对应的求导方法，便于理解和记忆。
如需进一步练习，建议多做不同类型的题目，以提高对复合函数求导的熟练度。
