在几何学中，三角形是最基本且最重要的图形之一。它由三条线段首尾相连围成，具有丰富的性质和多样的应用。本文将系统地整理与三角形相关的所有重要公式和定理，帮助读者全面掌握这一领域的知识。

一、三角形的基本概念

1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。

2. 分类：

- 按边分：等边三角形（三边相等）、等腰三角形（两边相等）、不等边三角形。

- 按角分：锐角三角形（三个内角均为锐角）、直角三角形（有一个内角为90°）、钝角三角形（有一个内角为钝角）。

二、三角形的基本性质

1. 内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°。

2. 外角定理：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和。

3. 三角形的稳定性：三角形具有唯一确定性，不易变形。

三、三角形的面积公式

1. 底乘高除以二：\( S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} \)

2. 海伦公式：设三角形三边长为 \(a, b, c\)，半周长 \(p = \frac{a+b+c}{2}\)，则面积 \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

3. 正弦定理求面积：若已知两边及其夹角，则面积 \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)

四、三角形的边长关系

1. 三角形不等式：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2. 勾股定理：在直角三角形中，斜边平方等于两直角边平方之和。

五、特殊三角形的特性

1. 等边三角形：

- 所有内角均为60°。

- 面积公式 \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)，其中 \(a\) 为边长。

2. 等腰三角形：

- 两条腰相等。

- 高平分底边并垂直于底边。

3. 直角三角形：

- 斜边上的中线等于斜边的一半。

- 若三边满足 \(a^2 + b^2 = c^2\)，则为直角三角形。

六、三角形的重要定理

1. 余弦定理：适用于任意三角形，表达式为 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。

2. 正弦定理：对于任意三角形，有 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)，其中 \(R\) 为外接圆半径。

3. 梅涅劳斯定理：若一条直线与三角形的三边或其延长线交于三点，则该三点分边的比例乘积为1。

4. 塞瓦定理：若三条直线分别通过三角形的三个顶点且交于一点，则它们分对边的比例乘积为1。

七、三角形的应用

1. 测量距离：利用三角函数计算不可直接测量的距离。

2. 建筑设计：三角形因其稳定性被广泛应用于建筑结构设计中。

3. 计算机图形学：三角形是构建复杂三维模型的基础单元。

以上便是关于三角形的所有公式与定理的总结。希望这些内容能够帮助大家更好地理解和运用三角形的相关知识，在实际问题解决中发挥重要作用。