【不定积分常用公式有哪些】在微积分的学习过程中，不定积分是重要内容之一。掌握常见的不定积分公式，有助于快速求解各类函数的原函数。本文将对一些常用的不定积分公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本积分公式
以下是一些最基本的不定积分公式，适用于初等函数：
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数相关积分
对于一些常见的三角函数组合，也有对应的积分公式：
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a}\cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a}\sin(ax) + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数积分
部分反三角函数的积分也较为常见：
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arccos x + C $ |
四、其他常见函数积分
还有一些特殊函数或组合函数的积分公式：
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a}\ln\left | \frac{x-a}{x+a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
五、小结
以上是不定积分中一些常用的公式整理。在实际应用中，还需要结合换元法、分部积分法等技巧来处理更复杂的积分问题。建议在学习过程中多做练习，加深对这些公式的理解和记忆。
通过系统地掌握这些公式，可以有效提高积分运算的速度和准确性，为后续的微积分学习打下坚实基础。
