【三角函数公式总结大全】在数学学习中，三角函数是基础且重要的内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了帮助大家更好地掌握和应用三角函数的相关公式，本文将对常见的三角函数公式进行系统总结，并以文字加表格的形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本概念
三角函数是以角度为自变量的函数，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）三种基本函数，以及它们的倒数：余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。这些函数可以定义在直角三角形中，也可以推广到单位圆上。
二、基本三角函数公式
| 函数名称 | 定义式 | 常见值（0°, 30°, 45°, 60°, 90°） |
| 正弦 (sin) | 对边 / 斜边 | 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 |
| 余弦 (cos) | 邻边 / 斜边 | 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 |
| 正切 (tan) | 对边 / 邻边 | 0, 1/√3, 1, √3, 不存在 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达 |
| sin(π - α) | sinα |
| cos(π - α) | -cosα |
| tan(π - α) | -tanα |
| sin(π + α) | -sinα |
| cos(π + α) | -cosα |
| tan(π + α) | tanα |
| sin(-α) | -sinα |
| cos(-α) | cosα |
| tan(-α) | -tanα |
四、同角三角函数关系
| 公式 | 表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα |
| 倒数关系 | cotα = 1/tanα, secα = 1/cosα, cscα = 1/sinα |
五、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(α ± β) | sinαcosβ ± cosαsinβ |
| cos(α ± β) | cosαcosβ ∓ sinαsinβ |
| tan(α ± β) | (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ) |
六、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin2α | 2sinαcosα |
| cos2α | cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| tan2α | 2tanα / (1 - tan²α) |
七、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(α/2) | ±√[(1 - cosα)/2] |
| cos(α/2) | ±√[(1 + cosα)/2] |
| tan(α/2) | ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) |
八、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| sinαcosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosαcosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinαsinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
九、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
十、三角函数的周期性
| 函数 | 周期 |
| sinx | 2π |
| cosx | 2π |
| tanx | π |
| cotx | π |
总结
三角函数是数学中不可或缺的一部分，掌握其基本公式和规律有助于解决各种实际问题。通过上述的公式总结，希望可以帮助大家更清晰地理解三角函数的性质与应用。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和运用能力。
