【常用定积分公式】在数学学习和应用中，定积分是一个非常重要的概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握一些常用的定积分公式，有助于快速求解问题，提高计算效率。以下是一些常见的定积分公式总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本函数的定积分
| 函数 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ x^n $ | $\int_a^b x^n \, dx$ | $\frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}$（$n \neq -1$） |
| $ e^x $ | $\int_a^b e^x \, dx$ | $e^b - e^a$ |
| $ \sin x $ | $\int_a^b \sin x \, dx$ | $-\cos b + \cos a$ |
| $ \cos x $ | $\int_a^b \cos x \, dx$ | $\sin b - \sin a$ |
| $ \frac{1}{x} $ | $\int_a^b \frac{1}{x} \, dx$ | $\ln b - \ln a$（$a > 0, b > 0$） |
| $ \ln x $ | $\int_a^b \ln x \, dx$ | $b \ln b - b - (a \ln a - a)$ |
二、三角函数的定积分
| 函数 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ \sin(ax) $ | $\int_0^{2\pi} \sin(ax) \, dx$ | $0$（$a$ 为整数） |
| $ \cos(ax) $ | $\int_0^{2\pi} \cos(ax) \, dx$ | $0$（$a$ 为整数） |
| $ \sin^2 x $ | $\int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $ \cos^2 x $ | $\int_0^{\pi} \cos^2 x \, dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
三、有理函数的定积分
| 函数 | 定积分表达式 | 积分结果 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx$ | $\frac{\pi}{a}$（$a > 0$） | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $\int_{-b}^{b} \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx$ | $\frac{1}{2a} \ln\left | \frac{b+a}{b-a}\right | $（$b > a$） |
| $ \frac{1}{x(x + a)} $ | $\int_1^b \frac{1}{x(x + a)} \, dx$ | $\frac{1}{a} \ln\left(\frac{b(a + 1)}{a + b}\right)$ |
四、特殊函数的定积分
| 函数 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ | $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ | $2$ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ | $\pi$ |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ | $\pi$ |
五、对称性与周期性函数的定积分
对于某些具有对称性或周期性的函数，可以利用其性质简化计算：
- 偶函数：若 $f(-x) = f(x)$，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx$
- 奇函数：若 $f(-x) = -f(x)$，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$
- 周期函数：若 $f(x + T) = f(x)$，则 $\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx$
六、小结
定积分是微积分中的核心内容之一，掌握常用函数的积分公式，不仅有助于提升计算速度，还能加深对函数性质的理解。本文整理了一些常见函数的定积分公式，包括多项式、指数、三角函数、有理函数以及特殊函数等，方便读者查阅和使用。在实际应用中，还需结合具体问题选择合适的积分方法，如换元法、分部积分法、数值积分等，以达到最佳效果。
