在物理学中，转动惯量是描述物体绕某一轴旋转时惯性大小的重要物理量。对于一个空心圆环而言，其转动惯量的计算公式为：

$$ J = \frac{1}{2} m (R_{\text{外}}^2 + R_{\text{内}}^2) $$

其中，\( J \) 表示转动惯量，\( m \) 是圆环的质量，\( R_{\text{外}} \) 和 \( R_{\text{内}} \) 分别代表圆环的外半径和内半径。

为了推导这一公式，我们首先需要明确圆环的质量分布特性。假设圆环的质量均匀分布在其厚度上，则可以将其视为由无数个质量微元组成。每个质量微元到旋转轴的距离不同，因此对整体转动惯量的贡献也有所不同。

设圆环的总质量为 \( m \)，密度均匀，则单位长度上的质量为 \( \lambda = \frac{m}{L} \)，其中 \( L \) 是圆环的周长。将圆环分割成无数个小段，每段的质量为 \( dm = \lambda \cdot dl \)，且 \( dl \) 是对应弧长。

由于圆环是一个二维平面结构，其转动惯量可以通过积分求得。考虑一个质量微元 \( dm \) 到旋转轴的距离平方为 \( r^2 \)，则该微元对转动惯量的贡献为 \( dJ = r^2 \, dm \)。将所有微元的贡献相加，得到总转动惯量：

$$ J = \int r^2 \, dm $$

通过几何关系可知，圆环的质量分布满足 \( r \in [R_{\text{内}}, R_{\text{外}}] \)，并且 \( dm = \frac{m}{2\pi(R_{\text{外}} - R_{\text{内}})} \cdot rd\theta \)，其中 \( \theta \) 是角度变量。代入后进行积分计算，最终可得上述公式：

$$ J = \frac{1}{2} m (R_{\text{外}}^2 + R_{\text{内}}^2) $$

此公式表明，空心圆环的转动惯量不仅与其质量相关，还与内外半径的平方和成正比。这种特性使得空心圆环在实际应用中具有独特的力学行为，例如在飞轮设计或天体运动分析等领域发挥重要作用。

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