【复合函数求导怎么算】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导需要用到“链式法则”。本文将对复合函数的求导方法进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的求导步骤。
一、复合函数的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入。例如，若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数，记作 $ y = f \circ g $。
二、复合函数求导的方法
复合函数的求导主要依赖于链式法则，即：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
三、常见复合函数类型及求导方法（表格）
| 复合函数形式 | 外层函数 | 内层函数 | 求导步骤 | 示例 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ f(u) $ | $ g(x) $ | 先对 $ f(u) $ 求导得 $ f'(u) $，再乘以 $ g'(x) $ | $ y = \sin(2x) $，导数为 $ 2\cos(2x) $ |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ u^n $ | $ g(x) $ | 使用幂函数求导法则：$ n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | $ y = (3x + 1)^2 $，导数为 $ 2(3x + 1) \cdot 3 = 6(3x + 1) $ |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ e^u $ | $ g(x) $ | 导数为 $ e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = e^{x^2} $，导数为 $ e^{x^2} \cdot 2x $ |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \ln(u) $ | $ g(x) $ | 导数为 $ \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | $ y = \ln(5x) $，导数为 $ \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \sqrt{g(x)} $ | $ \sqrt{u} $ | $ g(x) $ | 导数为 $ \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x) $ | $ y = \sqrt{x^2 + 1} $，导数为 $ \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $ |
四、注意事项
1. 分清内外函数：在应用链式法则时，首先要明确哪个是外层函数，哪个是内层函数。
2. 逐步求导：对于多层复合函数（如 $ y = f(g(h(x))) $），应从最外层开始逐层求导。
3. 注意符号和运算顺序：特别是在处理指数、对数等复杂函数时，保持运算顺序正确非常重要。
五、总结
复合函数的求导本质上是通过链式法则将复杂的导数问题分解为多个简单函数的导数相乘。掌握好链式法则的使用方法，能够帮助我们快速准确地求解各种复合函数的导数。通过上述表格中的示例和步骤，可以更好地理解和应用这一重要数学工具。
