【常见16个定积分公式】在数学分析中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常见的定积分公式，不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更深入地理解函数的性质和积分的意义。以下是整理出的16个常见定积分公式，以加表格的形式呈现。
一、
定积分是函数在某一区间上的“面积”或某种累积量的表达形式，其计算方法多种多样，但有一些基本的积分公式是必须掌握的。这些公式包括多项式、三角函数、指数函数、对数函数、反三角函数等基本函数的积分结果，以及一些特殊函数的积分表达式。
以下列出的16个定积分公式，涵盖了从简单到复杂的一系列情况，适用于考试复习、学习笔记或实际应用中的快速查阅。
二、常见16个定积分公式（表格）
| 序号 | 积分表达式 | 积分结果 | 说明 | ||||
| 1 | $ \int_a^b dx $ | $ b - a $ | 常数函数1的积分 | ||||
| 2 | $ \int_a^b x^n dx $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） | 幂函数积分公式 | ||||
| 3 | $ \int_a^b e^x dx $ | $ e^b - e^a $ | 指数函数积分 | ||||
| 4 | $ \int_a^b a^x dx $ | $ \frac{a^b - a^a}{\ln a} $（$ a > 0, a \neq 1 $） | 指数底数为常数的积分 | ||||
| 5 | $ \int_a^b \sin x dx $ | $ -\cos b + \cos a $ | 正弦函数积分 | ||||
| 6 | $ \int_a^b \cos x dx $ | $ \sin b - \sin a $ | 余弦函数积分 | ||||
| 7 | $ \int_a^b \tan x dx $ | $ -\ln | \cos b | + \ln | \cos a | $ | 正切函数积分 |
| 8 | $ \int_a^b \sec^2 x dx $ | $ \tan b - \tan a $ | 正割平方积分 | ||||
| 9 | $ \int_a^b \csc^2 x dx $ | $ -\cot b + \cot a $ | 余割平方积分 | ||||
| 10 | $ \int_a^b \frac{1}{x} dx $ | $ \ln \left | \frac{b}{a} \right | $ | 对数函数积分 | ||
| 11 | $ \int_a^b \frac{1}{1+x^2} dx $ | $ \arctan b - \arctan a $ | 反正切函数积分 | ||||
| 12 | $ \int_a^b \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $ | $ \arcsin b - \arcsin a $ | 反正弦函数积分 | ||||
| 13 | $ \int_a^b \frac{1}{x^2 + a^2} dx $ | $ \frac{1}{a} (\arctan \frac{b}{a} - \arctan \frac{a}{a}) $ | 分母为二次函数的积分 | ||||
| 14 | $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx $ | $ \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} $ | 贝塔函数与伽马函数相关 | ||||
| 15 | $ \int_0^{\infty} e^{-x} dx $ | $ 1 $ | 指数衰减函数的积分 | ||||
| 16 | $ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx $ | $ \sqrt{\pi} $ | 高斯积分公式 |
三、结语
以上16个定积分公式是数学学习和应用中的基础内容，熟练掌握它们有助于提升积分运算的能力，并为后续学习如傅里叶变换、概率论、微分方程等内容打下坚实的基础。建议结合图形理解积分的意义，并通过练习加深记忆。
