【数列所有公式大全】数列是数学中一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等多种类型，每种数列都有其特定的公式和规律。为了便于学习和查阅，本文对常见的数列公式进行总结，并以表格形式呈现。
一、等差数列
等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，第 $ n $ 项为 $ a_n $，前 $ n $ 项和为 $ S_n $。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 第 $ n $ 项 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 前 $ n $ 项和（用 $ d $ 表示） | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
二、等比数列
等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，第 $ n $ 项为 $ a_n $，前 $ n $ 项和为 $ S_n $。
| 公式名称 | 公式表达式 | ||
| 第 $ n $ 项 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $（当 $ r \neq 1 $） | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） |
三、通项公式与求和公式（通用）
对于任意数列 $ \{a_n\} $，若能写出通项公式 $ a_n $，则可计算前 $ n $ 项和 $ S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n $。
| 类型 | 通项公式 | 求和公式 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ |
| 递推数列 | 需根据递推关系确定 | 需根据递推关系计算 |
四、其他常见数列公式
| 数列类型 | 公式说明 |
| 质数数列 | 无法用简单公式表示，通常通过筛选法生成 |
| 斐波那契数列 | $ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $，初始项 $ F_0 = 0, F_1 = 1 $ |
| 平方数列 | $ a_n = n^2 $ |
| 立方数列 | $ a_n = n^3 $ |
| 三角数列 | $ a_n = \frac{n(n+1)}{2} $ |
五、总结
数列的公式种类繁多，但主要集中在等差数列和等比数列上。掌握这些基本公式，有助于解决实际问题，如利息计算、几何图形面积、数列求和等。在学习过程中，建议结合实例练习，加深理解。
以下是常用数列公式的简要汇总表：
| 数列类型 | 通项公式 | 求和公式 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ |
| 平方数列 | $ a_n = n^2 $ | $ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ |
| 立方数列 | $ a_n = n^3 $ | $ S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $ |
| 三角数列 | $ a_n = \frac{n(n+1)}{2} $ | $ S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} $ |
通过以上整理，希望可以帮助读者更好地理解和应用数列的相关公式。数列的学习不仅需要记忆公式，更应注重理解其背后的数学逻辑与应用场景。
