【联合分布律的数学期望怎么求】在概率论与数理统计中，联合分布律是描述两个或多个随机变量同时取值的概率分布。当我们需要研究这些随机变量的某些特性时，数学期望是一个非常重要的指标。那么，如何根据联合分布律来计算数学期望呢？以下是对这一问题的总结与分析。
一、基本概念
- 联合分布律：设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个离散型随机变量，其联合分布律为 $ P(X = x_i, Y = y_j) $，表示 $ X $ 取 $ x_i $ 且 $ Y $ 取 $ y_j $ 的概率。
- 数学期望（期望）：表示随机变量在大量重复试验中的平均值。对于联合分布，可以计算 $ E(X) $、$ E(Y) $ 或 $ E(g(X,Y)) $ 等。
二、数学期望的计算方法
1. 计算 $ E(X) $
$$
E(X) = \sum_{i} \sum_{j} x_i \cdot P(X = x_i, Y = y_j)
$$
2. 计算 $ E(Y) $
$$
E(Y) = \sum_{i} \sum_{j} y_j \cdot P(X = x_i, Y = y_j)
$$
3. 计算 $ E(g(X,Y)) $
若 $ g(X,Y) $ 是一个关于 $ X $ 和 $ Y $ 的函数，则：
$$
E(g(X,Y)) = \sum_{i} \sum_{j} g(x_i, y_j) \cdot P(X = x_i, Y = y_j)
$$
三、举例说明
假设随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 的联合分布律如下表所示：
| $ X \backslash Y $ | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0.1 | 0.2 | 0.1 |
| 1 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
计算 $ E(X) $
$$
E(X) = 0 \cdot (0.1 + 0.2 + 0.1) + 1 \cdot (0.3 + 0.2 + 0.1) = 0 + 0.6 = 0.6
$$
计算 $ E(Y) $
$$
E(Y) = 0 \cdot (0.1 + 0.3) + 1 \cdot (0.2 + 0.2) + 2 \cdot (0.1 + 0.1) = 0 + 0.4 + 0.2 = 0.6
$$
计算 $ E(XY) $
$$
E(XY) = 0 \cdot 0 \cdot 0.1 + 0 \cdot 1 \cdot 0.2 + 0 \cdot 2 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 1 \cdot 0.2 + 1 \cdot 2 \cdot 0.1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.2 + 0.2 = 0.4
$$
四、总结表格
| 项目 | 公式 | 说明 |
| $ E(X) $ | $ \sum_{i}\sum_{j} x_i \cdot P(X=x_i,Y=y_j) $ | 随机变量 $ X $ 的期望值 |
| $ E(Y) $ | $ \sum_{i}\sum_{j} y_j \cdot P(X=x_i,Y=y_j) $ | 随机变量 $ Y $ 的期望值 |
| $ E(g(X,Y)) $ | $ \sum_{i}\sum_{j} g(x_i,y_j) \cdot P(X=x_i,Y=y_j) $ | 任意函数 $ g(X,Y) $ 的期望值 |
| $ E(XY) $ | $ \sum_{i}\sum_{j} x_i y_j \cdot P(X=x_i,Y=y_j) $ | 乘积的期望值，常用于协方差等计算 |
通过以上方法，我们可以根据给定的联合分布律准确地计算出相关随机变量的数学期望。这种方法不仅适用于离散型随机变量，也可扩展到连续型情况，只需将求和改为积分即可。理解并掌握这一方法，有助于进一步学习协方差、相关系数等更复杂的统计量。
