【怎么求定积分的导数】在微积分的学习中，定积分与导数是两个非常重要的概念。有时我们会遇到一个问题：如何求一个定积分的导数？这实际上涉及到“变限积分”的导数问题。下面将从基本原理出发，结合实例，总结出求定积分导数的方法。
一、基本原理
若函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数（即 $ F'(x) = f(x) $），则定积分：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
但如果积分上限是一个变量，比如：
$$
F(x) = \int_a^x f(t) \, dt
$$
那么根据牛顿-莱布尼兹公式，$ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，因此其导数为：
$$
F'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)
$$
这就是微积分基本定理的核心内容。
二、常见情况及求导方法总结
| 情况 | 公式 | 导数 | 说明 |
| 1. 积分上限为 $ x $，下限为常数 $ a $ | $ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt $ | $ F'(x) = f(x) $ | 直接应用基本定理 |
| 2. 积分上限为 $ u(x) $，下限为常数 $ a $ | $ F(x) = \int_a^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 使用链式法则 |
| 3. 积分上限为 $ u(x) $，下限为 $ v(x) $ | $ F(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x) $ | 变限积分导数公式 |
| 4. 积分被积函数含 $ x $ | $ F(x) = \int_a^x f(t, x) \, dt $ | $ F'(x) = f(x, x) + \int_a^x \frac{\partial}{\partial x} f(t, x) \, dt $ | 应用莱布尼茨法则 |
三、实例分析
例1：求 $ \frac{d}{dx} \int_0^x t^2 \, dt $
解：根据基本定理，导数为 $ x^2 $。
例2：求 $ \frac{d}{dx} \int_1^{x^2} \sin t \, dt $
解：令 $ u(x) = x^2 $，则导数为 $ \sin(x^2) \cdot 2x $。
例3：求 $ \frac{d}{dx} \int_{x}^{x^2} e^t \, dt $
解：根据公式，导数为 $ e^{x^2} \cdot 2x - e^x \cdot 1 = 2x e^{x^2} - e^x $。
四、总结
求定积分的导数本质上是处理“变限积分”问题，关键在于理解以下几点：
1. 基本定理：当积分上限为 $ x $ 时，导数就是被积函数。
2. 链式法则：当积分上限是 $ x $ 的函数时，需乘以该函数的导数。
3. 变限积分公式：上下限均为函数时，使用差值形式。
4. 莱布尼茨法则：当被积函数也含 $ x $ 时，需考虑偏导数项。
掌握这些方法后，就能灵活应对各种定积分导数的计算问题。
如需进一步练习或深入讲解，请随时提问。
