【复数的运算】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，广泛应用于物理、工程、信号处理等领域。复数的基本形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。本文将对复数的几种基本运算进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、复数的加法

两个复数相加时，分别将它们的实部与虚部相加。

公式：

$$ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

示例：

$$ (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i $$

二、复数的减法

两个复数相减时，同样分别对实部和虚部进行减法运算。

公式：

$$ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $$

示例：

$$ (5 + 3i) - (2 + 1i) = 3 + 2i $$

三、复数的乘法

复数的乘法遵循分配律，展开后合并同类项。

公式：

$$ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 $$

由于 $ i^2 = -1 $，可简化为：

$$ (ac - bd) + (ad + bc)i $$

示例：

$$ (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i $$

四、复数的除法

复数的除法需要通过共轭来有理化分母。

公式：

$$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

示例：

$$ \frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3 - 6i + 4i - 8i^2}{1 + 4} = \frac{3 - 2i + 8}{5} = \frac{11 - 2i}{5} = 2.2 - 0.4i $$

五、复数的模与共轭

- 模（绝对值）： 复数 $ a + bi $ 的模为 $ a + bi = \sqrt{a^2 + b^2} $

- 共轭： 复数 $ a + bi $ 的共轭为 $ a - bi $

表格总结：复数的运算规则

通过以上内容可以看出，复数的运算虽然涉及虚数单位 $ i $，但其操作方式与实数运算类似，只是多了一个虚部的处理。掌握这些基本运算，有助于进一步理解复数在实际问题中的应用。