【两个重要极限公式变形】在微积分的学习中，有两个重要的极限公式是学习和应用的基础，它们分别是：
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
这两个公式在数学分析、工程计算以及物理问题中有着广泛的应用。为了更好地理解和运用这些公式，我们可以通过一些常见的变形来拓展其适用范围。
一、基本公式回顾
| 公式编号 | 公式表达式 | 极限值 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 1 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ | $e$ |
二、常见变形与应用
以下是一些常见的变形形式及其应用场景：
1. 变形1：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$
- 说明：当分子中的角度为 $ax$ 而分母为 $x$ 时，可以利用基本公式进行变形。
- 推导：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = \lim_{x \to 0} a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = a \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = a \cdot 1 = a
$$
2. 变形2：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
- 说明：由于 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，因此可以结合基本公式进行推导。
- 推导：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \right) = 1 \cdot 1 = 1
$$
3. 变形3：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
- 说明：这是利用三角恒等式对基本公式进行的扩展。
- 推导：
$$
1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
$$
所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\left(\frac{x}{2}\right)^2}{x^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
$$
4. 变形4：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$
- 说明：这是对第二个基本公式的推广，适用于更一般的指数形式。
- 推导：
$$
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{\frac{x}{a}}\right]^a = \left(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^{\frac{x}{a}}\right)^a = e^a
$$
三、变形总结表
| 变形公式 | 表达式 | 极限值 | 应用场景 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x}$ | $a$ | 三角函数相关极限 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ | $1$ | 三角函数相关极限 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ | 三角函数近似计算 |
| 4 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x$ | $e^a$ | 指数增长模型 |
四、结语
通过对“两个重要极限公式”的变形与扩展，我们可以更灵活地处理各种极限问题。掌握这些变形不仅有助于提高解题效率，还能加深对极限概念的理解。在实际应用中，建议结合具体题目进行练习，以增强对这些公式及其变形的熟练度。
