【正余弦定理所有公式是哪些】在三角函数的学习中，正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具。它们广泛应用于几何、物理、工程等领域。本文将对正余弦定理的所有主要公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、正弦定理
正弦定理适用于任意三角形，无论其是否为直角三角形。它描述了三角形的边与对应角之间的关系。
公式：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中：
- $ a, b, c $ 是三角形的三边；
- $ A, B, C $ 是对应的三个内角；
- $ R $ 是三角形外接圆的半径。
二、余弦定理
余弦定理用于已知两边及其夹角，或已知三边求角的情况，适用于任意三角形。
公式：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$
此外，也可以通过余弦定理反推出角度：
$$
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
$$
三、常见应用场景
| 应用场景 | 使用定理 |
| 已知两边及夹角，求第三边 | 余弦定理 |
| 已知三边，求各角 | 余弦定理 |
| 已知两角及一边，求其他边 | 正弦定理 |
| 已知两边及其中一边的对角，求另一角 | 正弦定理（注意可能有多种解） |
四、公式总结表
| 公式类型 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦定理 | $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $ | 适用于任意三角形 |
| 余弦定理（边求边） | $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ | 已知两边及其夹角，求第三边 |
| 余弦定理（角求角） | $ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $ | 已知三边，求角度 |
通过掌握这些公式，可以更高效地解决各种三角形相关的问题。建议在实际应用中结合图形理解，有助于加深记忆和灵活运用。
