【arcsin的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个常见的问题。对于反三角函数如“arcsin x”，许多学习者可能会对其原函数感到困惑。本文将总结“arcsin x”的原函数，并通过表格形式清晰展示相关知识点。
一、arcsin的原函数
arcsin x 是反正弦函数，其定义域为 $[-1, 1]$，值域为 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$。我们通常需要求的是它的不定积分，即：
$$
\int \arcsin x \, dx
$$
这个积分可以通过分部积分法来求解。设：
- $ u = \arcsin x $，则 $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来对第二个积分进行计算：
令 $ w = 1 - x^2 $，则 $ dw = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dw $，代入得：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{w}} dw = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{w} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
二、总结与表格
| 函数 | 原函数（不定积分） | 积分方法 | 注意事项 |
| $\arcsin x$ | $x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$ | 分部积分法 | 定义域为 $[-1, 1]$，注意根号内非负 |
三、小结
“arcsin x”的原函数是：
$$
x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
这一结果通过分部积分法得出，适用于所有在定义域内的 $x$ 值。理解这个过程有助于掌握反三角函数的积分技巧，同时也为后续更复杂的积分问题打下基础。
