在解析几何中，双曲线是一种非常重要的二次曲线。当提到等轴双曲线时，它指的是两条渐近线相互垂直且具有相同实半轴和虚半轴长度的双曲线。这种双曲线的标准形式通常可以写作 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\) 或者 \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)，具体取决于双曲线的开口方向。

现在，假设我们有一条等轴双曲线，并且已知它的两个焦点位于固定点上。为了找到这条双曲线的标准方程，我们需要利用一些基本性质来推导出其数学表达式。

首先，设这两个焦点分别为 \(F_1(-c,0)\) 和 \(F_2(c,0)\)，这里 \(c > 0\) 表示焦距的一半。对于任何位于双曲线上的一点 \(P(x,y)\)，满足以下关系：

\[|PF_1 - PF_2| = 2a\]

其中 \(2a\) 是双曲线的主轴长度。

接下来，根据上述条件以及等轴双曲线的特点（即 \(a=b\)），我们可以写出该双曲线的标准方程如下：

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\]

进一步地，由于我们知道焦距 \(2c=2a\sqrt{2}\)，因此可以确定 \(c=\sqrt{2}a\)。结合这些信息，最终得到的等轴双曲线的标准方程就是：

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\]

以上就是关于以指定点为焦点的等轴双曲线标准方程的一个简要介绍。希望对大家理解这类问题有所帮助！如果还有其他疑问或需要更深入的学习资源，请随时提问。