三门问题（Monty Hall Problem）是一个经典的概率论问题，其名称来源于美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》中的场景。问题描述如下：参赛者面前有三扇门，其中一扇门后有一辆汽车，其余两扇门后是山羊。参赛者选择一扇门后，主持人（知道每扇门后是什么）会打开另一扇没有被选中且后面是山羊的门。此时，参赛者可以选择是否改变最初的选择。

我们通过数学推导来分析这个问题：

假设与初始条件

- 设参赛者最初选择的门为 A。

- 主持人会打开一扇未被选中且后面是山羊的门。

- 参赛者可以选择坚持最初的选择或切换到剩下的那扇未被打开的门。

概率计算

初始状态

在初始状态下，参赛者选择任意一扇门的概率是相等的，即：

\[ P(\text{车在A}) = \frac{1}{3}, \quad P(\text{车在B}) = \frac{1}{3}, \quad P(\text{车在C}) = \frac{1}{3} \]

主持人的行为

假设参赛者最初选择了门 A，主持人会打开一扇未被选中且后面是山羊的门。如果车在 B 或 C 中的一扇门后，主持人只能打开另一扇门。

改变选择后的概率

如果参赛者决定切换选择，那么切换到剩下那扇未被打开的门的概率为：

\[ P(\text{切换后得车}) = P(\text{车在B}) + P(\text{车在C}) \]

由于 \( P(\text{车在B}) = \frac{1}{3} \) 和 \( P(\text{车在C}) = \frac{1}{3} \)，因此：

\[ P(\text{切换后得车}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

坚持选择后的概率

如果参赛者坚持最初的选择，则得到车的概率为：

\[ P(\text{坚持后得车}) = P(\text{车在A}) = \frac{1}{3} \]

结论

通过上述推导可以看出，切换选择后获得汽车的概率为 \( \frac{2}{3} \)，而坚持最初选择的概率仅为 \( \frac{1}{3} \)。因此，在三门问题中，参赛者应该选择切换选择以提高获胜的概率。

这个结果看似违反直觉，但它基于严格的数学推导和概率论原理。希望本文能够帮助读者更好地理解三门问题及其背后的数学逻辑。