【三角函数通用公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等多个领域。为了便于理解和应用，以下总结了一些常见的三角函数通用公式，涵盖基本关系、诱导公式、和差公式、倍角公式以及积化和差等常用内容，并以表格形式进行展示。
一、基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切、余割相关 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切、正割相关 |
二、诱导公式（角度加减π/2或π的变换）
| 角度变换 | 三角函数变化 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 正弦值不变 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 余弦值变号 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 正弦值变号 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 余弦值变号 |
| $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$ | 正弦转余弦 |
| $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$ | 余弦转正弦 |
三、和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 正弦双角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦双角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切双角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦半角公式 |
| $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦半角公式 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ | 正切半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 正弦乘余弦 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 余弦乘余弦 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 正弦乘正弦 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦和化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦和化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦差化积 |
通过上述公式，可以更方便地处理各种三角函数问题，提高计算效率。在实际应用中，根据具体需求选择合适的公式组合使用，能够有效简化运算过程。
