在数学分析中，无穷级数是一种非常重要的工具，它能够帮助我们解决许多复杂的计算问题。无穷级数的求和公式是处理这类问题的关键所在。下面我们将介绍一些常用的无穷级数求和公式。

首先，让我们来看一个最基本的等比数列求和公式：

如果 |r| < 1，则有：

\[ S = \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r} \]

这个公式适用于所有满足绝对值小于1的情况下的等比数列。它是无穷几何级数的基础。

接下来是一个与自然对数相关的公式：

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1 \]

此公式提供了自然对数函数的一种幂级数展开方式，在微积分和复变函数理论中有广泛应用。

对于平方倒数级数，我们有一个著名的欧拉发现的结果：

\[ \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

这里 \(\zeta(s)\) 是黎曼ζ函数的一个特例，表明了π这个无理数如何出现在看似简单的分数序列之中。

再来看看指数函数的泰勒展开式：

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R} \]

这是将任意实数作为指数时指数函数的无穷级数表达形式，广泛应用于物理学、工程学等领域。

最后，考虑正弦和余弦函数的傅里叶级数表示：

\[ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \]

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \]

这两个公式描述了三角函数如何通过无限项的多项式来近似表示，这对于信号处理和振动分析至关重要。

以上就是一些常见的无穷级数求和公式。掌握这些公式不仅有助于解决特定类型的数学问题，还能加深对数学本质的理解。在实际应用中，灵活运用这些公式可以极大地简化计算过程并提高效率。